Pale di una turbina che ruotano di moto circolare uniforme
Esercizio riguardante le pale di una turbina che ruotano di moto circolare uniforme
Le pale di una turbina sono lunghe 6,7 m e ruotano con velocità angolare costante.
Sapendo che la frequenza di rotazione misurata vale 4,5·102 giri /min calcolare la velocità tangenziale degli estremi di una pala e di un punto di una pala posto a 3,5 m dall'asse di rotazione.
Confronta i due valori e commentane i risultati.
Calcola infine il rapporto tra l'accelerazione centripeta della punta della pala con quella del punto che si trova a 3,5 m dall'asse di rotazione.
Svolgimento
Il problema presenta la rotazione delle pale di una turbina che ruotano con velocità angolare costante e per cui si muovono di moto circolare uniforme.
La prima richiesta che viene proposta è quella di calcolare la velocità tangenziale di due punti posti lungo una pala: un punto all'estremità ed uno intermedio.
Chiamiamo dunque con R1 ed R2 i due raggi:
R1 = 6,7 m distanza dal centro del punto posto all'estremità
R2 = 3,5 m distanza dal centro del punto intermedio.
Il testo ci fornisce inoltre il valore della frequenza, che ricordiamo per un moto circolare uniforme quantifica il numero di giri percorsi nell'intervallo di tempo. Essa vale 4,5·102 giri /min.
Ricordando che in 1 minuto sono presenti 60 s, esprimiamo la frequenza in hertz:
f = 4,5·102 giri /min = 4,5·102 giri /60s = 7,5 Hz.
Questo vuol dire che ogni punto presente sulla pala compie 7,5 rotazioni complete in 1 secondo.
La velocità tangenziale è esprimibile come
V = lunghezza circonferenza / periodo = 2·π·R/T
Ricordando che
f = 1/T
allora possiamo scrivere
V = 2·π·R·f
Per cui i due punti avranno rispettivamente le seguenti velocità in modulo:
V1 = 2·π·R1·f = 2 · 3,14 · 6,7 · 7,5 = 315,57 m/s
V2 = 2·π·R2·f = 2 · 3,14 · 3,5 · 7,5 = 164,85 m/s
Pertanto la velocità tangenziale di un punto all'estremo della pala vale 315,57 m/s mentre un punto a 3,5 m dal centro gira a 164,85 m/s.
Il testo chiede ora di confrontare e commentare i due risultati appena ricavati.
La nota che si può dedurre da questi valori è che il punto posto sulla pala più vicino al centro, deve percorrere una circonferenza minore rispetto al punto posto all'estremità, la cui rotazione segue una circonferenza più esterna e quindi più estesa.
Poiché tutti i punti della pala però ruotano in sincronia, cioè nello spesso periodo e con la stessa frequenza, a parità di frequenza dunque la velocità è direttamente proporzionale al raggio della traiettoria seguita.
L'ultima richiesta del problema infine richiede di calcolare le accelerazioni centripete relative ai due punti e di calcolarne il rapporto.
Ricordiamo che l'accelerazione centripeta è definita come:
ac = V2/R
Per cui avremo che
ac1 = V12/R1 = 315,572/6,7 = 14863,35 m/s2 = 1,49·104 m/s2
e
ac2 = V22/R2 = 164,852/3,5 = 7764,44 m/s2 = 7,77·103 m/s2
Il rapporto tra le due accelerazioni vale
ac1/ ac2 = (1,49·104) / (7,77·103) ≈ 1,9
Link correlati:
Quali sono le formule del moto circolare uniforme?
Studia con noi