Corpo lineare soggetto a dilatazione termica
Esercizio riguardante un corpo lineare soggetto a dilatazione termica
Un orologio con meccanismo a pendolo ha un periodo di 0,5 s quando la temperatura ambiente è di 20°C.
Durante l'estate la temperatura media diventa di 30°C, calcolare quale correzione sull'ora bisogna apportare sull'orologio dopo un periodo di 60 giorni, pari circa alla durata della stagione estiva caratterizzata da tale temperatura, sapendo che il periodo di un pendolo è pari a
in cui L è la lunghezza del pendolo e g l'accelerazione di gravità.
Coefficiente di dilatazione lineare del metallo di cui è composto il pendolo = 10-6 °C-1
Svolgimento
L'asta che sostiene il pendolo può essere semplificato come un corpo lineare soggetto a dilatazione termica lineare se esposto a variazione di temperatura, secondo la legge:
L = Lo · (1 + λ · ΔT)
in cui Lo è la lunghezza del pendolo quando la temperatura è di 20°C.
Per cui il periodo iniziale del pendolo vale:
Quando si ha una variazione di temperatura da 20°C a 30°C:
ΔT = 30 - 20 = 10°C
il nuovo periodo del pendolo sarà:
Ora consideriamo il numero dei secondi che sono presenti in 60 giorni e chiamiamo tale valore S:
S = 60 · 60 · 24 · 60 = 5184000 s
Definiamo il rapporto n tra il numero dei secondi che ci sono in 60 giorni e il periodo del pendolo:
n = S/T
Ora il pendolo caratterizzato dal periodo T impiegherà un tempo S pari a:
S = n · T
mentre il pendolo dilatato:
S' = n · T'
Per cui la differenza di tempo tra i due pendoli, ovvero il ritardo accumulato, sarà pari a:
ΔS = n · T' - n · T = n · (T' - T)
ma n era definito come S/T per cui
Ricordando che:
e semplificando i termini simili, otteniamo infine:
Per cui i due orologi saranno sfasati di circa 25 s.
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