Piccola sfera di sughero carica posta in un campo elettrico
Piccola sfera di sughero carica elettricamente posta in un campo elettrico tramite un filo che la tiene sospesa
Una piccola sfera di sughero dotata di carica elettrica pari a 5 nC (nanocoulomb) e di massa 2 g viene posta in un campo elettrico tramite un filo che la tiene sospesa.
Il campo elettrico ha due componenti una x ed una y di intensità pari rispettivamente a 5 · 105 N/m e 7 · 105 N/m.
Una volta in equilibrio, il filo che sorregge la pallina si porta ad un angolo α rispetto alla verticale.
Calcolare tale angolo e la tensione del filo.
Svolgimento
La situazione descritta dal problema è quella raffigurata nella figura seguente:
I dati forniti dal problema sono:
m = 2 g = 2 · 10-3 kg
Ex = 5 · 105 N/m
Ey = 7 · 105 N/m
q = 5 nC = 5 · 10-9 C
Il sistema è in equilibrio pertanto la somma di tutte le forze agenti sulla sferetta è uguale a zero.
Tali forze sono :
- la forza peso
diretta verso il basso - la forza elettrica
diretta come il campo elettrico - la tensione
della fune che sorregge la pallina - deve risultare pertanto:
Quella appena scritta costituisce un'equazione vettoriale che corrisponde a due equazioni scalari una lungo x ed una lungo y.
Prendiamo come orientamento degli assi il verso positivo verso destra dell'asse x e quello positivo lungo y verso l'alto:
Rappresentiamo le forze agenti sulla pallina:
Le due equazioni scalari saranno:
Calcoliamo, commentando, le varie componenti della forza.
Partiamo dalla forza elettrica.
Le due componenti x ed y derivano dal fatto che il campo elettrico presente ha queste due componenti.
Ogni componente della forza può dunque essere calcolata a partire dalla definizione di campo elettrico:
Fex = Ex · q
Fey = Ey · q
La tensione avrà invece componenti legati all'angolo α:
Tx = T · sen α
Ty = T · cos α
Il sistema dunque diventerà:
Dividiamo membro a membro:
Per cui semplificando T e ricordando che il rapporto tra seno e coseno di un angolo è pari alla sua tangente, otteniamo:
tg α = 0,155
α = arctg 0,155 = 8,83°
Per calcolare la tensione sfruttiamo una delle due equazioni presenti a sistema:
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