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Densità lineare di carica

Esercizio sul calcolo della densità lineare di carica

Un filo infinito ed uniformemente carico con densità lineare λ è posto verticalmente ad una distanza D di 37 cm dal centro C di una sfera carica conduttrice di raggio R pari a 23 cm carica con densità superficiale σ 4,51∙10-8 C/m2.

Il campo elettrico totale è nullo nel punto P, posto alla stessa quota y del centro della sfera, ad una distanza L pari a 28 cm da esso, dalla parte opposta rispetto al filo.

Esercizio sul calcolo della densità lineare di carica

Calcolare:

a) la densità lineare di carica λ del filo;

b) il campo elettrico E (componenti Ex ed Ey) nel punto A posto a distanza L sulla verticale del punto P

Svolgimento dell'esercizio

Il campo elettrico nel punto P è pari alla somma vettoriale del campo generato dal filo e da quello generato dalla sfera conduttrice carica.

Ora sappiamo che la sfera è carica positivamente, essendo la sua densità superficiale di carica σ positiva.

Dunque il campo generato dalla sfera all’esterno di essa ha direzione radiale rispetto al centro della sfera con verso uscente.

Allora il campo nel punto P posto alla stessa altezza del centro, sarà diretto verso destra orizzontalmente.

Siccome il campo in P risulta nullo, allora necessariamente il campo elettrico generato dal filo deve avere verso opposto rispetto a quella della sfera e deve averne lo stesso modulo.

Allora concludiamo che il filo sarà carico negativamente. Imponiamo l’uguaglianza dei moduli dei due campi:

Efilo = Esfera

Esercizio sul calcolo della densità lineare di carica

in cui r è la distanza tra il punto P ed il filo, mentre Q è la carica complessivamente distribuita sulla superficie della sfera.

Per cui:

r = L + D

mentre Q è ricavabile dalla definizione di densità superficiale di carica:

Q = σ ∙ S

S è la superficie della sfera pari a 4∙π∙R2

In definitiva:

L’incognita da calcolare è la densità lineare di carica λ.

Risulta che:

calcolo lambda

Otteniamo, ricordando che la distribuzione lineare deve essere negativa:

λ = - 1,24 ∙ 10-7 C/m

Per calcolare le due componenti del campo elettrico in A, basta ricordare che il campo della sfera risulta inclinato di 45° rispetto all’orizzontale uscente dalla sfera, fornendo un contributo a Ex e a Ey, mentre il campo del filo è solo orizzontale e diretto verso sinistra.

Per cui:

Ex = Esfera ∙ cos45 -  Efilo

Il punto A risulta lontano dal centro come la diagonale del quadrato di lato L, dunque la distanza sarà L∙√2:

Per la componente y invece avremo solo la componente verticale del campo generato dal filo e rivolto verso la direzione positiva dell’asse y:

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