Calcolo della costante elastica di una molla
Esercizio sul calcolo della costante elastica di una molla
Una massa di 300 g viene posta all'estremità inferiore di una molla posta in verticale e questa raggiunge una lunghezza di 40 cm.
Se invece si appende alla molla una massa di 500 g si rileva che essa si allunga fino a 50 cm.
Determinare la lunghezza a riposo della molla e la sua costante elastica.
Svolgimento dell'esercizio
La lunghezza a riposo della molla è la sua lunghezza iniziale L0 ovvero la lunghezza della molla quando non vi è alcun peso attaccato ad essa.
Partendo dalla legge di Hooke:
F = K ∙ΔL
Scriviamo l'allungamento della molla come:
ΔL = L - L0
in cui L è la lunghezza finale raggiunta mentre L0 è la nostra incognita e calcolando la forza F come la forza peso dovuta alla massa:
F = P = m ∙g
possiamo scrivere la legge di allungamento come:
F = K ∙ ΔL = K ∙ (L - L0) = m ∙ g
Esplicitando L
L - Lo = (m ∙ g)/K
e quindi
L = (m ∙ g)/K + L0
Per le due situazioni proposte la legge di Hooke, espressa come prima, diventa:
L1 = (m1 ∙ g)/K + L0
L2 = (m2 ∙ g)/K + L0
Che rappresenta un sistema di due equazioni in due incognite: K (costante elastica della molla) ed L0.
Calcoliamo K dalla prima e sostituiamo nella seconda:
(m1 ∙ g)/K = L1 - L0
K = (m1 ∙g) / (L1 - L0)
L2 = (m2 ∙ g)/K + L0 = [(m2 ∙ g) / (m1 ∙ g) ] ∙(L1 - L0) + L0 = (m2 /m1) ∙(L1 - L0) + L0
Lavoriamo dunque sull'equazione:
L2 = (m2 / m1) ∙ (L1 - L0) + L0
Il nostro obiettivo è ricavare L0 per cui:
L2 = (m2 / m1) ∙ L1 - (m2 / m1) ∙ L0 + L0
L2 = (m2 / m1) ∙ L1 + [1 - (m2 / m1)] ∙ L0
[1 - (m2 / m1)] ∙ L0 = L2 - (m2 / m1) ∙ L1
L0 = [L2 - (m2 / m1) ∙ L1] / [1 - (m2 / m1)]
L0 = [50 - (500 / 300) ∙ 40] / [1 - (500 / 300)] = 25 cm
Dunque la lunghezza a riposo della molla in questione vale 25 cm.
Per calcolare la costante elastica sfruttiamo la relazione prima ricavata:
K = (m1 ∙ g) / (L1 - L0)
Prima di sostituire i dati, questa volta, dobbiamo portare tutte le grandezze nell'unità del Sistema Internazionale (prima abbiamo evitato questo passaggio in quanto le masse erano in rapporto tra di loro e quindi eseguire il rapporto di m2/m1 sia in kg sia in g è uguale, lasciando le lunghezze in cm il risultato è uscito anche esso in cm; in questo caso invece siamo obbligati ad eseguire le conversioni prima di sostituire in quanto il risultato deve essere espresso in N/m).
L1 = 40 cm = 0,4 m
L0 = 25 cm = 0,25 m
m1 = 300 g = 0,3 kg
Pertanto:
K = (m1 ∙g) / (L1 - L0) = (0,3 ∙9,8) / (0,4 – 0,25) = 19,6 N/m.
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