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Calcolo della costante elastica di una molla

Esercizio sul calcolo della costante elastica di una molla

Una massa di 300 g viene posta all’estremità inferiore di una molla posta in verticale e questa raggiunge una lunghezza di 40 cm.

Se invece si appende alla molla una massa di 500 g si rileva che essa si allunga fino a 50 cm.

Determinare la lunghezza a riposo della molla e la sua costante elastica.

Svolgimento dell'esercizio

La lunghezza a riposo della molla è la sua lunghezza iniziale L0 ovvero la lunghezza della molla quando non vi è alcun peso attaccato ad essa.

Partendo dalla legge di Hooke:

F = K ∙ΔL

Scriviamo l’allungamento della molla come:

ΔL = L - L0

in cui L è la lunghezza finale raggiunta mentre L0 è la nostra incognita e calcolando la forza F come la forza peso dovuta alla massa:

F = P = m ∙g

possiamo scrivere la legge di allungamento come:

F = K ∙ ΔL = K ∙ (L - L0) = m ∙ g

Esplicitando L

L - Lo = (m ∙ g)/K

e quindi

L = (m ∙ g)/K + L0

Per le due situazioni proposte la legge di Hooke, espressa come prima, diventa:

L1 = (m1 ∙ g)/K + L0

L2 = (m2 ∙ g)/K + L0

Che rappresenta un sistema di due equazioni in due incognite: K (costante elastica della molla) ed L0.

Calcoliamo K dalla prima e sostituiamo nella seconda:

(m1 ∙ g)/K = L1 - L0

K = (m1 ∙g) / (L1 - L0)

L2 = (m2 ∙ g)/K + L0 = [(m2 ∙ g) / (m1 ∙ g) ] ∙(L1 - L0) + L0 = (m2 /m1) ∙(L1 - L0) + L0

Lavoriamo dunque sull’equazione:

L2 = (m2 / m1) ∙ (L1 - L0) + L0

Il nostro obiettivo è ricavare L0 per cui:

L2 = (m2 / m1) ∙ L1 - (m2 / m1) ∙ L0 + L0

L2 = (m2 / m1) ∙ L1 + [1 -  (m2 / m1)] ∙ L0

[1 -  (m2 / m1)] ∙ L0 = L2 - (m2 / m1) ∙ L1

L0 = [L2 - (m2 / m1) ∙ L1] / [1 -  (m2 / m1)]

L0 = [50 - (500 / 300) ∙ 40] / [1 -  (500 / 300)] = 25 cm

Dunque la lunghezza a riposo della molla in questione vale 25 cm.

Per calcolare la costante elastica sfruttiamo la relazione prima ricavata:

K = (m1 ∙ g) / (L1 - L0)

Prima di sostituire i dati, questa volta, dobbiamo portare tutte le grandezze nell’unità del Sistema Internazionale (prima abbiamo evitato questo passaggio in quanto le masse erano in rapporto tra di loro e quindi eseguire il rapporto di m2/m1 sia in kg sia in g è uguale, lasciando le lunghezze in cm il risultato è uscito anche esso in cm; in questo caso invece siamo obbligati ad eseguire le conversioni prima di sostituire in quanto il risultato deve essere espresso in N/m).

L1 = 40 cm = 0,4 m

L0 = 25 cm = 0,25 m

m1 = 300 g = 0,3 kg

Pertanto:

K = (m1 ∙g) / (L1 - L0) = (0,3 ∙9,8) / (0,4 – 0,25) = 19,6 N/m.

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