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Grafico velocità-tempo nel moto smorzato

Studio ed analisi del grafico velocità-tempo nel moto smorzato

Disegnare il grafico velocità – tempo per un corpo di massa m che cade partendo da fermo all’interno di un fluido viscoso caratterizzato da un parametro caratteristico di viscosità b.

Svolgimento dell'esercizio

Sul corpo agiscono la forza peso P diretta verso il basso e la forza di attrito ritardante proporzionale alla velocità diretta verso l’alto.

Applichiamo ora il secondo principio della dinamica unicamente all’asse verticale, presa come positiva la direzione verso il basso:

P – Fr = m ∙ a

Il corpo cioè accelera finché la forza peso è superiore alla forza ritardante.

Riscritta l’equazione delle forze come:

m ∙ g - b ∙ v = m ∙ dv/dt

possiamo ricavare l’equazione differenziale

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che ha come soluzione la funzione V(t) che fornisce la velocità del corpo in caduta nel fluido in funzione del tempo:

velocità nel moto smorzato

Il grafico di V(t) sarà dunque di tipo esponenziale.

Per t = 0 il fattore:

e ^(-b∙t/m) = e0 = 1

per cui:

V(0) = 0  (il corpo infatti partiva da fermo).

La curva è simile ad una retta (ovvero cresce con buona approssimazione linearmente) finché t < τ ovvero fino al valore della costante di tempo m/b ed in quell’istante la velocità vale il 63% della velocità limite data da (m∙g/b)

V(τ) = 0,63 ∙ m∙g/b

Per t > τ la curva avrà un andamento esponenziale smorzato fino ad avvicinarsi al valore della velocità limite in quanto per t → +∞ allora V(t) → m∙g/b.

Pertanto il grafico risulterà essere di questo tipo:

grafico velocità tempo nel moto smorzato

Si veda anche: grafico velocità-tempo del moto di un corpo lanciato verso l'alto all'interno di un fluido viscoso.

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