Accelerazione di un sistema formato da tre masse
Calcolo dell'accelerazione di un sistema formato da tre masse
Tre masse sono collegate come in figura:
Sapendo che tra la massa 2 ed il tavolo esiste un coefficiente di attrito pari a μ, calcolare il valore dell'accelerazione della massa 3 nell'ipotesi che essa salga.
Svolgimento
Il problema chiede di calcolare l'accelerazione della massa m3 sospesa alla destra del tavolo e collegata tramite una carrucola ed una fune ad una massa m2, posta su di un tavolo scabro in cui è presente un coefficiente di attrito, che è a sua volta collegata sempre tramite filo e carrucola alla massa m1 sospesa nel vuoto.
Nell'ipotesi che m3 salga, m1 scende ed m2 si muoverà verso sinistra.
Scriviamo l'equazione delle forze che agiscono per ciascuna massa.
Per m1 avremo:
m1 · g - T1 = m1 · a
in cui a è l'accelerazione comune a tutte e tre le masse e T1 è la tensione della fune che la collega a m2.
Per m2 avremo invece:
T1 - T2 - Fatt = m2 · a
in cui T2 è la tensione che lega la massa m2 alla massa m3 e Fatt è la forza di attrito che agisce su di essa.
Per m3 infine:
T2 - m3 · g = m3 · a
Abbiamo ottenuto pertanto 3 equazioni:
m1 · g - T1 = m1 · a
T1 - T2 - Fatt = m2 · a
T2 - m3 · g = m3 · a
Ricaviamo T1 e T2 rispettivamente dalla prima e dalla terza equazione:
T1 = m1 · g - m1 · a
T2 = m3 · a + m3 · g
Sostituiamo tali espressione nella seconda ed otteniamo:
m1· g - m1 · a - (m3 · a + m3 · g) - Fatt = m2 · a
Ricordando che la forza di attrito è il prodotto del coefficiente di attrito per la forza normale N agente su m2, otteniamo
m1 · g - m1 · a - m3 · a - m3 · g - μ · N = m2 · a
Lungo l'asse verticale riferito a m2, abbiamo:
N - m2 · g = 0
per cui
N = m2 · g
Allora:
m1 · g - m1 · a - m3 · a - m3 · g - μ· m2 · g = m2 · a
m1 · a + m2 · a + m3 · a = m1 · g - m3 · g - μ · m2 · g
(m1 + m2 + m3) ·a = (m1 - μ · m2 - m3) · g
che rappresenta l'accelerazione con cui si muove ogni massa del sistema compresa m3.
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