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Condizione di rotazione

Calcolo della condizione di rotazione

Una massa m è poggiata sopra un tavolo liscio privo di attrito e ruota di moto circolare uniforme.

La massa m è connessa tramite un cavo ed un foro attraverso il tavolo ad un'altra massa M sospesa in aria.

Trovare per quali condizione di rotazione della massa m, la massa M sospesa rimane ferma.

Svolgimento

La massa m si sta muovendo di moto circolare uniforme poggiata su di un tavolo piano liscio cioè privo di attrito.

La massa m è collegata tramite una corda ad una massa M che rimane invece sospesa in aria.

Pertanto la prima massa fa riferimento ad una situazione dinamica mentre la seconda ad una statica.

La situazione descritta dal problema è schematizzabile come segue:

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Scriviamo l'equazione delle forze che agiscono dapprima su m.

Su di essa agiranno:

  • la tensione T della fune diretta verso il foro;
  • la forza peso m · g diretta verso il basso;
  • la forza normale di reazione del piano diretta verso l'alto;
  • la forza centripeta Fc diretta verso il foro.

Quindi lungo l'asse orizzontale (quello diretto come la congiungente tra la massa m ed il foro) l'equazione sarà:

T = Fc

Ovvero la tensione T imprime un'accelerazione centripeta per m ed è quindi uguale alla forza centripeta:

T = Fc = m · V2 / R

in cui

V è la velocità di rotazione della massa

R è il raggio della circonferenza.

Per la massa M in equilibrio invece il diagramma delle forze è:

T - M · g = 0

Combinando le due equazioni:

T = m · V2 / R

T - M · g = 0

otteniamo:

m · V2 / R = M · g

e quindi

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In definitiva affinché la massa M rimanga in equilibrio sospesa è necessario che il rapporto tra il quadrato della velocità tangenziale di rotazione ed il raggio (ovvero l'accelerazione centripeta) sia pari al rapporto tra la massa sospesa e la massa in rotazione per l'accelerazione di gravità.

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