Condizione di rotazione
Calcolo della condizione di rotazione
Una massa m è poggiata sopra un tavolo liscio privo di attrito e ruota di moto circolare uniforme.
La massa m è connessa tramite un cavo ed un foro attraverso il tavolo ad un'altra massa M sospesa in aria.
Trovare per quali condizione di rotazione della massa m, la massa M sospesa rimane ferma.
Svolgimento
La massa m si sta muovendo di moto circolare uniforme poggiata su di un tavolo piano liscio cioè privo di attrito.
La massa m è collegata tramite una corda ad una massa M che rimane invece sospesa in aria.
Pertanto la prima massa fa riferimento ad una situazione dinamica mentre la seconda ad una statica.
La situazione descritta dal problema è schematizzabile come segue:
Scriviamo l'equazione delle forze che agiscono dapprima su m.
Su di essa agiranno:
- la tensione T della fune diretta verso il foro;
- la forza peso m · g diretta verso il basso;
- la forza normale di reazione del piano diretta verso l'alto;
- la forza centripeta Fc diretta verso il foro.
Quindi lungo l'asse orizzontale (quello diretto come la congiungente tra la massa m ed il foro) l'equazione sarà:
T = Fc
Ovvero la tensione T imprime un'accelerazione centripeta per m ed è quindi uguale alla forza centripeta:
T = Fc = m · V2 / R
in cui
V è la velocità di rotazione della massa
R è il raggio della circonferenza.
Per la massa M in equilibrio invece il diagramma delle forze è:
T - M · g = 0
Combinando le due equazioni:
T = m · V2 / R
T - M · g = 0
otteniamo:
m · V2 / R = M · g
e quindi
In definitiva affinché la massa M rimanga in equilibrio sospesa è necessario che il rapporto tra il quadrato della velocità tangenziale di rotazione ed il raggio (ovvero l'accelerazione centripeta) sia pari al rapporto tra la massa sospesa e la massa in rotazione per l'accelerazione di gravità.
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