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Modulo, direzione e verso del vettore risultante

Calcolo del modulo, direzione e verso del vettore risultante

Per aggirare un massiccio montuoso, un aereo è costretto a compiere i seguenti spostamenti: dapprima l'aereo si dirige per 125 km a est, dopo vira a Nord-Est per 150 km ed infine vira a Nord 60° Ovest per 200 km fino ad arrivare alla meta finale.

Calcolare modulo, direzione e verso del vettore risultante.

Svolgimento

La traccia del problema riferisce di tre vettori spostamento s1, s2 ed s3 di cui conosciamo modulo e verso:

S1 = 125 km

S2 = 150 km

S3 = 200 km

La rappresentazione grafica di quanto riportato dal testo è la seguente:

vettori es5

Scriviamo adesso le componenti x ed y di ogni vettore, riferendoci ad un sistema di assi coordinati.

Il vettore s1 punta verso Est quindi è adagiato sull'asse orizzontale: non ha componente verticale ma solo orizzontale:

S1x = 125 km

S1y = 0

Il vettore s2 ha direzione Nord-Est, quindi in questo caso vuol dire che la direzione è quella compresa a metà quadrante tra nord ed est; essendo l'angolo di 90°, la direzione sarà pertanto inclinata di 45°:

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Infine il vettore s3 ha direzione Nord 60° Ovest, pertanto punta nel quadrante tra il nord e l'ovest, inclinato di un angolo di 60° a partire da nord e verso ovest. Per comodità ci riferiamo invece all'angolo che tale vettore forma con l'asse orizzontale.

Poichè il quadrante ha un angolo di 90°, allora l'angolo formato con l'orizzontale sarà pari a 90° - 60° = 30°:

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Il segno meno sulla componente x di s3 è data dal fatto che il vettore punta nella direzione Nord Ovest e quindi la sua proiezione x punta verso Ovest.

Avendo preso il riferimento positivo verso Est, pertanto tale componente sarà negativa.

Il vettore risultante r è dato dalla somma vettoriale dei tre vettori :

R = s1 + s2 + s3

Per calcolare le componenti di r occorre pertanto sommare le rispettive componenti x ed y dei tre vettori componenti:

33

La risultante r avrà dunque modulo pari a:

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Infine per calcolare direzione e verso della risultante, detto α l'angolo che essa forma con l'asse orizzontale, sappiamo che:

R·cos α = Rx

R·sen α = Ry

Dividendo membro a membro le due suddette uguaglianze otteniamo:

35

ed infine:

36

Quindi il vettore spostamento risultante è pari in modulo a 214,04 km ed ha direzione Est 74,4° Nord.

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