Punti che si muovono di moto circolare uniforme lungo la stessa circonferenza di raggio
Esercizio che riguarda due punti che si muovono di moto circolare uniforme lungo la stessa circonferenza di raggio
Su una circonferenza di raggio 3 m si muovono due punti che si incontrano ogni 20 s se viaggiano nello stesso verso, mentre si incontrano ogni 4 s se si muovono in verso opposto.
Supponendo che il moto dei due corpi sia circolare uniforme, determinare il modulo delle due velocità dei due corpi.
Svolgimento
Il problema propone la situazione di due punti che si muovono di moto circolare uniforme lungo la stessa circonferenza di raggio
R = 5 m
Sono fornite due diverse configurazioni di moto.
Nella prima i due punti viaggiano nello stesso verso ed in questo caso si incontrano in un periodo di tempo t1 pari a
t1 = 20 s
Per cui i due angoli descritti dai due punti A e B devono essere tali per cui:
αA - αB = 2·π
Ricordando come si esprime l'angolo spazzato in funzione della velocità angolare:
αA = ωA·t1
e
αB = ωB·t1
otteniamo
ωA·t1 - ωB·t1 = 2·π
dividendo ambo i membri per t1:
ωA - ωB = 2·π/t1
Nella seconda configurazione proposta invece i due punti viaggiano di verso opposto e si incontrano dopo un periodo di tempo t2 pari a
t2 = 4 s
In questo caso i due angoli descritti dai due punti A e B devono essere tali per cui:
αA + αB = 2·π
Ripetendo lo stesso ragionamento di prima otteniamo:
ωA + ωB = 2·π/t2
Abbiamo ottenuto dunque due equazioni in due incognite che possiamo risolvere tramite un sistema di equazioni lineari di primo grado:
{ ωA - ωB = 2·π/t1
{ ωA + ωB = 2·π/t2
Sostituendo i valori a t1 e t2:
{ ωA - ωB = 2·π/20
{ ωA + ωB = 2·π/4
Quindi
{ ωA - ωB = π/10
{ ωA + ωB = π/2
Sommiamo membro a membro le due equazioni:
ωA + ωB + ωA - ωB = π/2 + π/10
2·ωA = 3·π/5
ωA = 3·π/10 ≈ 0,942 rad/s
Sostituiamo tale valore in una delle due equazioni presenti a sistema per calcolare ωB:
0,942 + ωB = π/2
ωB = π/2 - 0,942 = 0,628 rad/s
Ricordando che la velocità angolare ω è esprimibile in funzione della velocità tangenziale secondo la relazione:
ω = V/R
ricaviamo immediatamente che
VA = ωA·R = 0,942·3 = 2,83 m/s
VB = ωB·R = 0,628·3 = 1,88 m/s
Dunque in definitiva i due punti si muovono con velocità tangenziali rispettivamente pari a 2,83 m/s e 1,88 m/s.
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