Cariche elettriche sospese a due fili
Esercizio su cariche elettriche sospese a due fili
Due masse identiche portanti ciascuna una carica di 2,0·10-8 C, sono sospese a due fili di massa trascurabile, isolanti e di lunghezza 150 cm.
Le due sfere, una volta raggiunto l'equilibrio, si portano ad una distanza di 4 cm tra di loro.
Si determini la tensione del filo e la massa di ciascuna sfera.
Si ipotizzi che le due sfere siano puntiformi.
Svolgimento
La situazione descritta dal problema è la seguente:
Le due sfere entrambe di massa m sono in equilibrio tra di loro e si respingono con una forza elettrica tale da far inclinare i due fili che le sorreggono di un angolo α rispetto alla verticale.
I dati a nostra disposizione sono i seguenti:
Q1 = Q2 = 2,0·10-8 C
L = 150 cm = 1,5 m
d = 4 cm = 4 ·10-2 m
L'angolo α è facilmente calcolabili con considerazioni trigonometriche.
Prendiamo in esame il triangolo rettangolo formato dal un filo, L, da metà distanza d e dalla verticale che congiunge l'apice da cui si originano i fili fino a toccare la congiungente delle due sfere.
Possiamo scrivere che:
L · sen α = d/2
Da cui
sen α = d / (2 · L) = 4 ·10-2 / ( 2 · 1,5) = 0,013
Su ogni singola sfera agiscono le seguenti forze:
- la forza di Coulomb che tende a farle respingere
- la forza peso diretta verso il basso
- la tensione del filo
Rappresentiamo tali forze:
Scriviamo i moduli della forza peso e della forza elettrica:
|P| = m · g
|Fe| = K0 ·Q2/d2
E poiché il corpo è in equilibrio imponiamo che la somma di tutte le componenti x ed y di ogni forza sia pari a zero.
Sull'asse orizzontale avremo:
Fe - T · senα = 0
Mentre su quello verticale:
T · cosα - m·g = 0
Dalle due precedenti equazioni possiamo pertanto ricavare i valori incogniti di T ed m.
Ricaviamo T dalla seconda e sostituiamo nella prima:
T · cosα - m·g = 0
T · cosα = m·g
T = m·g / cosα
Per cui:
Fe - T · senα = 0
Fe - (m·g / cosα) · senα = 0
Fe - m·g · (senα / cosα) = 0
E poiché:
senα / cosα = tgα
otteniamo:
Fe - m · g · tg α = 0
Poiché per angoli molto piccoli il seno si può confondere con la tangente:
senα ≈ tgα per α molto piccolo
possiamo concludere che:
La tensione del filo vale invece:
In definitiva dunque la massa di ciascuna sfera vale 17,6 g mentre la tensione su ogni filo è pari a 173 ·10-3 N.
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