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Coefficiente di attrito statico

Esercizio: calcolo del coefficiente di attrito statico

Un blocco è in equilibrio statico su di un piano inclinato scabro di base b ed altezza h.

Il piano inclinato in questione p dotato di una cerniera che permette di variare l’angolo di inclinazione a piacere.

Se si aumenta l’inclinazione del piano, si nota che quando l’altezza è metà della base il corpo inizia a scivolare verso basso.

Calcolare il coefficiente di attrito statico del piano.

Il diagramma di corpo libero relativo al corpo poggiato sul piano inclinato è il seguente:

Detto θ l’angolo per il quale il corpo inizia a scendere, possiamo affermare che lungo l’asse x la forza di attrito statico è uguagliata dalla componente parallela della forza peso che chiamiamo Px.

Ora sappiamo che in un piano inclinato la componente parallela della forza peso vale

Px = m · g · sen θ

mentre la componente y della forza peso vale:

Py = m · g · cosθ

Scriviamo le due equazioni scalari delle forze proiettate sull’asse orizzontale e verticale del nostro sistema di riferimento.

Sull’asse y avremo:

N - m · g · cos θ = 0 ( da cui N = m · g · cos θ)

e sull’asse x:

m · g · sen θ – Fatt = 0

Poniamo uguale a zero la somma algebrica delle due componenti anche sull’asse x perché ci poniamo nella situazione in cui il corpo sta per scendere verso il basso in quanto l’angolo θ rappresenta l’angolo che fa rende la Px pari alla forza di attrito e quindi pari alla forza di stacco.

La forza di attrito è:

Fatt = μd · N = μd · m · g · cosθ

Procediamo a considerare l’uguaglianza:

m · g · sen θ = Fatt

m · g · sen θ = μd · m · g · cosθ

semplificando m e g ad ambo i membri:

sen θ = μd ·cosθ

ovvero

μd = sen θ / cosθ

Il rapporto tra seno e coseno di un angolo ne restituisce la tangente goniometrica, per cui:

μd = tgθ

Il problema dice che l’altezza è la metà della base, ovvero:

h = b / 2

e siccome

tg θ =h/b = (b/2) / b = ½

dunque il coefficiente di attrito statico cercato vale come la tangente cioè:

μd = 0,5

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