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Accelerazione di un sistema formato da due masse

Accelerazione di un sistema formato da due masse collegate tra loro

Due masse m1 ed m2 collegate da una fune inestensibile priva di massa e tramite una carrucola, sono posizionate rispettivamente su di un tavolo liscio l’una e sospesa in aria l’altra.

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Ricavare l’accelerazione di ogni blocco e la tensione della fune.

Svolgimento dell'esercizio

Per la risoluzione di questo problema adotteremo un sistema di assi cartesiani coordinati di tipo classico con l’asse y rivolto verso il basso.

Elenchiamo le forze che agiscono su ciascun blocco.

Partiamo innanzitutto col considerare che la carrucola non fa altro che traslare la forza di tensione da una direzione all’altra.

Dunque la tensione della fune che agisce sul blocco 2 è la stessa di quella che agisce sul blocco 1.

Dunque anche l'accelerazione con cui si spostano i blocchi è la medesima.

Sul blocco 1 agisce la forza peso diretta verso il basso e la forza di reazione del piano su cui poggia diretta verso l’altro entrambe le forze hanno la direzione dell’asse y.

Inoltre sul blocco agisce la tensione della fune che lo tira verso destra e la risultante delle forze è diretta anch’essa verso destra.

Sul blocco 2 sospeso in aria invece agiscono la forza peso diretta verso il basso, la tensione della fune verso l’alto e la risultante è diretta verso il basso.

Scriviamo la seconda equazione relativa alla massa m1 e m2.

Per m2, avendo scelto come positivo il verso diretto verso il basso dell’asse y, avremo:

m2 ∙ g – T = m2 ∙ a

Per m1 invece:

T = m1 ∙ a

possiamo riscrivere a sistema le due precedenti, che diventano pertanto:

accelerazione di un sistema formato da due masse

Procediamo per sostituzione; sostituiamo la seconda nella prima:

m2 ∙ g – m1 ∙ a = m2 ∙ a

m1 ∙ a + m2 ∙ a = m2 ∙ g

(m1 + m2) ∙ a = m2 ∙ g

Da cui:

a = m2 ∙ g / (m1 + m2)

Mentre la tensione risulterà pari a:

T = m1 ∙ m2 ∙ g / (m1 + m2)

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