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Formule inverse

Come si ricavano le formule inverse?

Per sapere come ottenere le formule inverse bisogna anzitutto avere ben chiari due principi chiave dell'algebra: il primo e il secondo principio di equivalenza.

Il primo principio di equivalenza afferma che: aggiungendo o sottraendo ad entrambe i membri di un'equazione una stessa quantità, l'equazione resta equivalente alla data.

Ad esempio, data l'equivalenza

x - 3 = 2

posso sommare in entrambi i membri il valore + 3 ed ottenere un'equazione equivalente a quella data:

x - 3 + 3 = 2 + 3

Da cui:

x = + 5

E' quindi come se avessi trasportato il - 3 nel membro di destra ma cambiandolo di segno.

x = 2 + 3

Risulta quindi che: in un'equazione con somme e sottrazioni posso liberamente trasportare un termine da un membro all'altro cambiandolo però di segno.

Il secondo principio dell'equivalenza afferma che moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un'equazione per una stessa quantità diversa da zero l'equazione resta equivalente alla data.

Ad esempio, data l'equivalenza

Formule inverse 0

posso dividere entrambi i membri per il valore + 6 ottenendo un'equazione equivalente a quella data:

Formule inverse 1

Semplificando, si ha che:

formule inverse 2

E' come se il 6 del membro di sinistra l'avessi portato nel membro di destra ma al denominatore.

Risulta quindi che: in un'equazione con moltiplicazioni e divisioni posso liberamente trasportare un termine da un membro all'altro cambiandolo però di posizione: se è al numeratore lo trasporto al denominatore e viceversa.

Fatta questa necessaria premessa iniziamo a vedere alcuni casi in cui ricaviamo le formule inverse senza doverle necessariamente impararle a memoria.

#1

Consideriamo la formula dell'area del triangolo:

Area triangolo

Supponiamo di volere ricavare la base (b); dobbiamo fare in modo che tutto ciò che è vicino a b (e quindi h e 2) vada nell'altro membro.

Per eseguire questi passaggi dobbiamo ricordare quanto detto in precedenza, ovvero che "in un'equazione con moltiplicazioni e divisioni posso liberamente trasportare un termine da un membro all'altro cambiandolo però di posizione: se è al numeratore lo trasporto al denominatore e viceversa".

Quindi trascinando il 2 nel membro di sinistra, questo andrà a finire al numeratore, mentre trascinando la h a sinistra, questo andrà a finire al denominatore. Risulta quindi che:

Formula altezza rettangolo

Che letta da destra a sinistra risulta:

Formule inverse 4

#2

Consideriamo la formula della densità:

Formula densità

e supponiamo di volere ricavare m. In questo caso dovremo spostare il termine V a sinistra ma al numeratore: Risulta che:

Formula inversa 5

Che letta da destra verso sinistra:

Formula massa dalla densità

#3

Consideriamo nuovamente la formula della densità:

Formula densità

e supponiamo di volere ricavare V che è al denominatore. In questo caso bisogna effettuare un doppio passaggio: prima dobbiamo cambiare di membro il termine V portandolo al numeratore come visto in precedenza:

Formula inversa 5

e poi trasportando d a destra, posizionandolo al denominatore:

Formule inverse 6

#4

Consideriamo ora la formula diretta dell'area del trapezio:

Area trapezio

e supponiamo di volere ricavare h. In questo caso il 2 dovrà andare nel membro di sinistra al numeratore e l'intero blocco (b1+b2) dovrà anch'esso andare nel membro di sinistra ma al denominatore. Risulta che:

Formule inverse 7

Che letta da destra sinistra risulta essere:

Formule inverse 8

#5

Consideriamo nuovamente la formula diretta dell'area del trapezio:

Area trapezio

e supponiamo di volere ricavare b1. In casi di questo genere dobbiamo inizialmente isolare l'intero blocco (b1+b2): il 2 dovrà andare nel membro di sinistra al numeratore e il valore h dovrà anch'esso andare nel membro di sinistra ma al denominatore. Risulta che:

Formule inverse 9

A questo punto non possiamo trasportare b2 al denominatore poichè questa operazione è possibile solo nei casi in cui c'è una moltiplicazione o una divisione.

In casi del genere ci dobbiamo ricordare cosa ci dice il primo principio di equivalenza: "in un'equazione con somme e sottrazioni posso liberamente trasportare un termine da un membro all'altro cambiandolo però di segno".

Ciò significa che posso isolare b1 trasportando b2 nell'altro membro ma cambiandolo di segno. Risulta quindi che:

Formule inverse 10

#6

Consideriamo ora la formula dell'area del quadrato:

Formula area quadrato

e supponiamo di volere ricavare l. In casi del genere dobbiamo ricordare che l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato è la radice quadrata. Risulta quindi che:

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