Calcolo dell'allungamento di una molla

Esercizio sul calcolo dell'allungamento di una molla

Una sfera omogenea di raggio 10 cm e densità 0,7 g/cm³ viene posta nel fondo di un contenitore pieno d'acqua attaccata ad una molla di lunghezza a riposo nulla e costante elastica 0,1 N/mm.

Determinare l'elongazione della molla all'equilibrio.

Svolgimento dell'esercizio

All'equilibrio la sfera si sarà spostata dal fondo e la molla si sarà elongata di una certa dimensione che rappresenta la nostra incognita.

Le forze che agiscono sul sistema sono:

la forza peso diretta verso il basso;
la spinta di Archimede diretta verso l'alto;
la forza elastica della molla anch'essa diretta verso il basso.

Poiché la retta di direzione lungo cui agiscono tutte e tre le forze è l'asse verticale, possiamo imporre direttamente che la somma dei moduli delle tre forze risulti nulla affinché ci sia l'equilibrio.

Scegliamo un sistema di riferimento con verso positivo rivolto verso l'alto e quindi:

S_archimede - F_elastica – P = 0

La forza elastica è il prodotto della costante elastica della molla espressa in N/m per l'allungamento della stessa:

F_elastica = K∙ x

La Spinta di Archimede è il prodotto della densità del liquido in cui è immerso il corpo, in questo caso acqua (densità dell'acqua = 1000 kg/m³) per il volume V della sfera per l'accelerazione di gravità g:

S_archimede = ρ ∙ V ∙ g

La forza peso infine è il prodotto della massa della sfera per l'accelerazione di gravità (per info si veda: formula del peso):

P = m ∙ g

Allora:

-K ∙ x + ρ ∙ V ∙ g - m ∙ g = 0

K∙ x = ρ ∙V ∙ g - m ∙ g

x = (ρ ∙V ∙ g - m ∙ g) / K

Ricordando la definizione di densità di un corpo:

ρ_sfera = m/V

da cui:

m = ρ_sfera ∙ V

Quindi possiamo esprimere la x come: