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Calcolo dell'allungamento di una molla

Esercizio sul calcolo dell'allungamento di una molla

Una sfera omogenea di raggio 10 cm e densità 0,7 g/cm3 viene posta nel fondo di un contenitore pieno d’acqua attaccata ad una molla di lunghezza a riposo nulla e costante elastica 0,1 N/mm.

Determinare l’elongazione della molla all’equilibrio.

Svolgimento dell'esercizio

All’equilibrio la sfera si sarà spostata dal fondo e la molla si sarà elongata di una certa dimensione che rappresenta la nostra incognita.

Le forze che agiscono sul sistema sono:

Poiché la retta di direzione lungo cui agiscono tutte e tre le forze è l’asse verticale, possiamo imporre direttamente che la somma dei moduli delle tre forze risulti nulla affinché ci sia l’equilibrio.

Scegliamo un sistema di riferimento con verso positivo rivolto verso l’alto e quindi:

Sarchimede - Felastica – P = 0

La forza elastica è il prodotto della costante elastica della molla espressa in N/m per l’allungamento della stessa:

Felastica = K∙ x

La Spinta di Archimede è il prodotto della densità del liquido in cui è immerso il corpo, in questo caso acqua (densità dell'acqua = 1000 kg/m3) per il volume V della sfera per l’accelerazione di gravità g:

Sarchimede = ρ ∙ V ∙ g

La forza peso infine è il prodotto della massa della sfera per l’accelerazione di gravità (per info si veda: formula del peso):

P = m ∙ g

Allora:

-K ∙ x + ρ ∙ V ∙ g - m ∙ g = 0

K∙ x = ρ ∙V ∙ g - m ∙ g

x = (ρ ∙V ∙ g - m ∙ g) / K

Ricordando la definizione di densità di un corpo:

ρsfera = m/V

da cui:

m = ρsfera ∙ V

Quindi possiamo esprimere la x come:

x = (ρ ∙ V ∙ g - ρsfera ∙ V ∙ g ) / K

Raccogliamo il volume V e g:

x = V ∙ g ∙ (ρ - ρsfera ) / K

x = (4/3 ∙ π ∙ R3) ∙ g ∙ (ρ - ρsfera) / K

Dobbiamo però prima esprimere la densità della sfera in unità di misura del Sistema Internazionale:

ρsfera = 0,7 g/cm3 = 700 kg/m3

ed il raggio in m:

R = 10 cm = 0,1 m

Mentre la costante elastica vale:

K = 0,1 N/mm = 100 N/m

e la densità dell’acqua vale 1000 kg/m3

x = (4/3 ∙ π ∙ R3) ∙ g ∙ (ρ - ρsfera) / K

x = (4/3 ∙ π ∙ 0,13) ∙ 9,8 ∙ (1000 - 700) / 100

x = 0,123 m = 12,3 cm

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