Satellite lanciato dalla superficie lunare
Esercizio riguardante un satellite lanciato dalla superficie lunare
Un satellite viene lanciato dalla superficie lunare con una velocità di 1 km/s secondo una traiettoria radiale.
Riuscirà il corpo a sfuggire all'attrazione lunare o ritornerà al suolo dopo aver raggiunto una distanza massima dal centro della Luna?
Nel caso in cui torni al suolo determinare la distanza massima raggiunta dal centro della Luna.
Si sappia che:
- massa Luna 7,35 ∙ 1022 kg;
- raggio lunare 1737 km.
Svolgimento dell'esercizio
Affinché un corpo posto in un campo gravitazionale generato da una massa M, possa sfuggire all'attrazione gravitazionale di questa, è necessario che esso venga lanciato radialmente dalla superficie del pianeta con velocità pari a quella di fuga (per info: velocità di fuga).
Tale velocità va calcolata imponendo che energia cinetica sommata all'energia potenziale gravitazionale del corpo al suolo sia pari a 0:
½ ∙ m ∙ v2 - G ∙ (m ∙ M) / R = 0
Da cui:
Poiché la velocità iniziale impressa al satellite è inferiore alla velocità di fuga richiesta (1000 < 2376) allora il satellite raggiungerà un'altezza massima dal suolo e poi sarà destinato a ritornarvi.
Per calcolare la distanza massima dal centro della Luna che il satellite raggiunge imponiamo che l'energia meccanica inziale, somma del contributo cinetico e di quello potenziale, sia pari all'energia meccanica finale che avrà solo componente gravitazionale.
½ ∙ m ∙ v2 - G∙ (m ∙M) / R = - G∙ (m ∙ M) / Rmax
Dobbiamo calcolare Rmax.
Semplifichiamo innanzitutto la massa m:
½ ∙ v2 - G∙ M / R = - G ∙ M/Rmax
Da cui:
G ∙ M / Rmax = G∙ M / R - ½ ∙ v2
Pertanto:
Otteniamo come risultato:
Rmax = 2,1 ∙ 106 m
Studia con noi