Esercizio su un doppio piano inclinato

Esercizio svolto su un doppio piano inclinato

Due corpi della medesima massa M = 2 kg sono disposti sui due cateti di un triangolo rettangolo che poggia sull'ipotenusa, e sono collegati tra di loro attraverso una fune inestensibile e priva di massa attraverso una carrucola.

Gli angoli interno del triangolo sono 90°, 30° e 60°.

Sapendo che i coefficienti di attrito sui due cateti sono rispettivamente 0,4 e 0,1, calcolare l'accelerazione dei due blocchi.

Svolgimento

La situazione descritta dal problema è tipica dei quesiti relativi al doppio piano inclinato.

Abbiamo cioè due corpi poggiati su due piani inclinati che hanno in comune il lato verticale, ma con angoli alla base differenti.

In particolare dai dati forniti sappiamo che le due masse sono identiche e valgono:

M₁ = M₂ = M = 2 kg

I due angoli sono

α = 60°

β = 30°

ed infine i due coefficienti di attrito valgono:

μ₁ = 0,4

μ₂ = 0,1

La situazione descritta è quindi del tipo :

esercizio piano inclinato 6

in cui è stato disegnato con vettore di colore nero il vettore forza peso , mentre di colore blu e rosso le componenti orizzontali e verticali della forza peso.

Nell'ipotesi che il blocco 1 salga e il blocco 2 scenda, rappresentiamo il diagramma di corpo libero per entrambe le masse.

Sulla massa M₁ agiscono le seguenti forze:

la forza peso diretta verticalmente verso il basso;
la tensione della fune rivolta verso la carrucola;
la forza di reazione perpendicolare al piano;
la risultante diretta verso la carrucola;
la forza di attrito che si oppone al moto e quindi poiché la massa sale, essa è rivolta verso la base del piano.

Sulla massa M₂ invece:

la forza peso diretta verticalmente verso il basso;
la tensione della fune rivolta verso la carrucola;
la forza di reazione perpendicolare al piano;
la risultante diretta verso la base del piano;
la forza di attrito che si oppone al moto e quindi poiché la massa scende, essa è rivolta verso la carrucola.

Possiamo dunque scrivere le equazioni scalari per M₁ e M₂.

Avremo per M₁ lungo i due assi:

{T - P_x - F_att = M₁·a

{N - P_y = 0

Abbiamo scelto come positivo il verso con cui sta salendo la massa.

{T - M₁·g·sen60 - μ₁· M₁·g·cos60 = M₁·a

{N = M₁·g·cos60

Per la massa M₂ analogamente:

{M₂·g·sen30 - T - μ₂· M₂·g·cos30 = M₂·a

{N = M₂·g·cos30

Per cui si tratta di risolvere il sistema lineare di primo grado:

{T - M₁·g·sen60 - μ₁· M₁·g·cos60 = M₁·a

{M₂·g·sen30 - T - μ₂· M₂·g·cos30 = M₂·a

Sommiamo membro a membro:

T - M₁·g·sen60 - μ₁· M₁·g·cos60 + M₂·g·sen30 - T - μ₂· M₂·g·cos30 = M₁·a + M₂·a

Semplifichiamo T e raccogliamo a:

(M₁+ M₂) ·a = M₂·g·sen30 - M₁·g·sen60 - μ₁· M₁·g·cos60 - μ₂· M₂·g·cos30

(M₁+ M₂) ·a = g·(M₂·sen30 - M₁·sen60 - μ₁· M₁·cos60 - μ₂· M₂·cos30)

accelerazione es 6

Contro l'ipotesi fatta.

Per cui dobbiamo ipotizzare che la massa 1 scenda mentre la 2 salga.