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Applicazione del moto armonico semplice

Esercizio riguardante l'applicazione del moto armonico semplice

Un punto materiale si muove di moto armonico con periodo pari a 0,1 s ed ampiezza 1,0 m.

Sapendo che la massa del punto è di 100 g calcolare il massimo valore della forza che agisce su di esso.

Nel caso in cui le oscillazioni sono dovute alla presenza di una molla, qual è la costante elastica di quest'ultima?

Svolgimento:

Riordiniamo i dati forniti dal problema:

m = 100 g = 0,1 kg

T = 0,1 s

A = 1,0 m

La situazione presentata fa riferimento ad un moto rettilineo, in cui un punto oscilla secondo le leggi del moto armonico semplice.

Il testo richiede di calcolare il massimo valore della forza che agisce su tale punto.

La seconda equazione della dinamica afferma che:

F = m · a

in cui F ed a sono rispettivamente i moduli della forza e dell'accelerazione, mentre m è la massa del corpo.

Per cui il modulo della forza massima che agisce sul punto sarà dato dal prodotto della massa per l'accelerazione massima che il punto subisce.

Ora in un moto armonico, l'accelerazione in funzione del tempo è data da:

a(t) = - A · ω2 · cos(ω · t)

e poiché il coseno è una funzione che oscilla tra -1 e +1 allora il massimo valore in modulo dell'accelerazione sarà:

amax = A · ω2

Non conosciamo però la velocità angolare ω, che però possiamo rapidamente calcolare a partire dal periodo T:

ω = 2 · π / T = 2 · π / 0,1 = π / 62,8 rad/s

Dunque l'accelerazione massima subita dal corpo è pari a:

amax = A· ω2 = 1 · 62,82 = 3943,84 m/s2

Di conseguenza il modulo della forza massima è :

Fmax = m · amax = 0,1 · 3943,84 = 394,38 N

Se le oscillazioni sono provocate dalla presenza di una molla, sappiamo che nel caso di un corpo di massa m che oscilla attaccato ad una molla di costante elastica k si ha che il periodo è dato da:

periodo molla

Il nostro obiettivo, come richiesto dal problema, è ricavare la costante elastica k della molla.

Elevando ambo i membri al quadrato dunque otteniamo:

T2 = 4 · π2 · m / k

Da cui:

valore di K

In definitiva la forza massima subita dal corpo vale 394,38 N mentre la costante elastica della molla è 394,38 N/m.

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Quali sono le formule del moto armonico?

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