Moto armonico lungo un ipotetico tunnel che attraversa la Terra
Massa in caduta libera lungo un ipotetico tunnel che attraversa la Terra
Dimostrare che se si potesse praticare un foro sulla Terra che vada dal Polo Nord al Polo Sud, una massa lasciata libera di cadere si muoverebbe di moto armonico passando dal centro della Terra.
Calcolare il tempo impiegato ad attraversare l'intero pianeta e la velocità con la quale la massa passerebbe per il centro della Terra.
Svolgimento
Il testo presenta un caso limite in cui si considera una massa in caduta libera lungo un ipotetico tunnel che partendo dal polo nord terrestre attraverserebbe l'intero pianeta passando per il centro fino a sbucare dalla parte opposta al polo sud.
Iniziamo con considerazione qualitative su ciò che ci aspettiamo dal moto che la massa avrà.
Ipotizziamo anzitutto che non ci sia attrito con l'aria (attrito viscoso).
La massa m cadrebbe di moto accelerato fino al centro della terra dove la gravità si annulla, passerebbe al di là del centro e con la velocità acquistata, risalirebbe fino alla superficie con moto decelerato.
Si fermerebbe dunque sulla superficie, poi ricomincerebbe la caduta nel buco fino al centro della terra e via dall'altra parte ricomincerebbe la risalita.
Dunque il corpo si muoverebbe su e giù di moto armonico (periodico) come un pendolo che oscilla avanti e indietro.
Dopo le considerazioni qualitative passiamo però ad analizzare la situazione da un punto di vista prettamente fisico.
La massa m parte ad una distanza R dal centro della Terra, dove R è il raggio terrestre.
La forza con cui viene attirato al centro è la forza gravitazionale di Newton:
in cui
d è la distanza progressiva dal centro della Terra (d ≤ R)
M è la massa terrestre presente nella sfera di raggio d, variabile poiché man mano che ci si avvicina al centro essa diminuisce.
Dobbiamo trovare dunque un'espressione che leghi la massa M della Terra in funzione della distanza dal centro d.
Introducendo il concetto di densità ρ, sappiamo che la densità rappresenta il rapporto tra massa e volume:
ρ = M / V
mentre il volume V di una sfera è pari a:
V = 4/3· π·d3
Dunque possiamo esprimere la massa della Terra M in funzione della distanza d che ci separa dal centro della Terra come:
M = ρ · V = 4/3 · π · d3 · ρ
Sostituiamo pertanto nell'espressione di F:
Quindi quando il corpo passa per il centro della Terra, cioè quando d=0, la forza di attrazione F si annulla.
Scriviamo la seconda equazione di Newton per il corpo, ricordando che la forza F è una forza di richiamo:
- 4/3· π ·G·m· ρ·d = m·a
da cui l'accelerazione in funzione di d risulta essere:
a(d) = - 4/3· π ·G· ρ·d
Ora ricordando che in un moto armonico per quanto riguarda l'accelerazione:
a(t) = - A· ω2 ·cos(ω· t) = - ω2·[ A· cos(ω· t)] = - ω2·x
cioè l'accelerazione risulta proporzionale all'opposto dello spostamento; possiamo dunque affermare che la massa lanciata nell'ipotetico tunnel che passa per il centro della Terra si muoverà di moto armonico semplice.
La velocità angolare ω di tale moto può essere ricavata sapendo che:
a(d) = - ω2·d = - 4/3· π ·G· ρ · d
- ω2·d = - 4/3· π ·G· ρ·d
ω2·d = 4/3· π ·G· ρ·d
ω2 = 4/3· π ·G· ρ
Da cui:
Il periodo del moto risulta pari a:
Razionalizziamo la frazione:
Dalla quale:
Ora sapendo che la densità media della Terra vale:
ρ = 5,51·103 kg/m3
e che la costante G vale:
G = 6,67·10-11 N·m2/kg2
Otteniamo:
Che tradotto in minuti vuol dire circa 84 minuti.
Ora il problema richiedeva di calcolare il tempo per attraversare il pianeta, cioè di calcolare mezzo periodo (in quanto un periodo completo corrisponde ad un'oscillazione completa andata e ritorno).
Per cui il tempo necessario per andare dal polo nord al polo sud sarà:
t = T/2 = 2,53·103 s ovvero circa 42 minuti.
Per calcolare invece la velocità con la quale la massa passa al centro di oscillazione (il centro della Terra) basta ricordare che in un moto armonico la velocità è massima proprio al centro di oscillazione e vale:
Vmax = A·ω
In cui
A è l'ampiezza di oscillazione e nel nostro caso il raggio della terra R = 6,37·106 m
ω è la velocità angolare che ricaviamo agevolmente dal valore del periodo T:
In definitiva quindi:
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Quali sono le formule del moto armonico?
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