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Esercizio sulla legge gravitazionale di Newton

Esercizio svolto sulla legge gravitazionale di Newton

Calcolare a quale altezza bisogna portarsi rispetto alla superficie della Terra affinché si dimezzi il proprio peso.

(raggio della Terra 6371 chilometri, massa della Terra 5,972 · 1024 kg)

Svolgimento

La forza peso a cui è soggetta qualsiasi massa presente sulla superficie terrestre, deriva direttamente dall'espressione della legge gravitazionale di Newton:

461

in cui MT e RT sono rispettivamente la massa e il raggio della Terra.

Riscrivendo la precedente come:

462

e sostituendo otteniamo:

463

Abbiamo dunque ricavato il noto valore dell'accelerazione di gravità g che moltiplicato alla massa di un corpo posto sulla superficie della Terra ci restituisce il peso.

Ora, il problema ci chiede di calcolare a che altezza h portare un corpo di massa m affinché il peso di quest'ultimo dimezzi.

Detto P il peso originario sulla superficie della Terra pari a:

464

il peso P' quando la distanza dal centro del pianeta diventa (RT + h) sarà dunque:

465

e sappiamo che

P' = ½ · P

Allora possiamo scrivere che:

466

Semplifichiamo i termini G, MT e m in quanto presenti in ambo i membri:

467

Sviluppiamo il quadrato di binomio:

468

Riordiniamo i termini e portiamo in un solo membro:

469

che rappresenta un'equazione di secondo grado in h.

Risolviamola:

470

Scartiamo la soluzione negativa, per cui l'altezza desiderata risulta pari a:

471

In definitiva il peso si dimezza ad una distanza di 2630 km dalla superficie terrestre.

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