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Angolo di inclinazione di due fili

Angolo di inclinazione di due fili a cui sono sospesi due sferette cariche elettricamente

Due sferette dotate della medesima carica elettrica q e di uguale massa m sono sospese ciascuna ad un filo isolante di lunghezza L; ogni filo risulta appeso allo stesso punto.

Le due sfere, una volta in equilibrio, si portano a distanza d tra di loro e ogni filo risulta inclinato di un angolo α rispetto alla verticale in maniera simmetrica.

Determinare la relazione esistente tra q e α.

Discutere il risultato.

Svolgimento

La situazione descritta dal problema è la seguente:

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Le due sfere entrambe di massa m, sono dotate della medesima carica elettrica q e sono in equilibrio tra di loro.

L'uguaglianza di carica fa si che esse si respingano con una forza elettrica tale da far inclinare i due fili che le sorreggono di un angolo α rispetto alla verticale.

I dati a nostra disposizione sono dunque i seguenti:

Q1 = Q2 = Q

L

α

m1 = m2 = m

Il problema chiede proprio di determinare la relazione esistente tra q e α.

Su ogni singola sfera agiscono le seguenti forze:

  • la forza di Coulomb che tende a farle respingere
  • la forza peso diretta verso il basso
  • la tensione del filo

Rappresentiamo tali forze:

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Scriviamo i moduli relativi alla forza peso e alla forza elettrica:

|P| = m · g

|Fe| = K0 ·Q2/d2

in cui d è la distanza tra le due sferette, calcolabile mediante considerazioni trigonometriche.

Prendiamo in esame il triangolo rettangolo formato dal un filo, L, da metà distanza d e dalla verticale che congiunge l'apice da cui si originano i fili fino a toccare la congiungente delle due sfere.

Possiamo scrivere che:

L · senα = d/2

Da cui

d = 2 · L · senα

E poiché ogni singola sferetta è in equilibrio, imponiamo che la somma di tutte le componenti x ed y di ogni forza sia nulla.

Sull'asse orizzontale avremo:

Fe - T · senα = 0

Mentre su quello verticale:

T · cosα - m·g = 0

Dalle due precedenti equazioni possiamo pertanto ricavare i valori incogniti di T ed m.

Ricaviamo T dalla seconda e sostituiamo nella prima

T · cosα - m·g = 0

T · cosα = m·g

T = m·g / cosα

Per cui:

Fe - T · senα = 0

Fe - (m·g / cosα) · senα = 0

Fe - m·g · (sen α / cosα) = 0

E poiché

senα / cosα = tgα

otteniamo

Fe - m · g · tgα = 0

Poiché come già visto

|Fe| = K0 ·Q2/d2

otteniamo

K0 ·Q2/d2 - m · g · tgα = 0

Poiché

d = 2 · L · senα

scriviamo

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Riformuliamo la precedente esplicitando la carica elettrica in funzione dell'angolo:

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La relazione appena ricavata mostra come la conoscenza dell'angolo di inclinazione del filo, possa ricondurre al valore della carica presente.

Tale risultato è alla base del funzionamento, con buona approssimazione, dell'elettroscopio a foglie, ipotizzando la carica elettrica come concentrata in un punto e non su tutta la superficie della foglia.

La relazione tra q ed α è di tipo non lineare.

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