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Bernoulli e velocità di fuoriuscita di un liquido

Applicazione della legge di Bernoulli e velocità di fuoriuscita di un liquido

Dimostrare a partire dal teorema di Bernoulli che dato un recipiente contenente un liquido non viscoso, se viene praticato un foro ad una profondità h dal livello superficiale del liquido, si ha che la velocità di efflusso del liquido dal foro è pari a:

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(legge di Torricelli)

Si esamini successivamente il caso di un piccolo recipiente d'acqua di forma cilindrica che abbia diametro pari a 0,10 m e di altezza pari a 0,20 m.

Viene praticato un foro dalla superficie di 1 cm2 lateralmente ed in corrispondenza della base.

L'acqua fuoriesce da tale foro con una portata di 1,4 · 10-4 m3/s.

Determinare l'altezza del livello dell'acqua contenuta nel recipiente ed il tempo impiegato per svuotarsi completamente.

Svolgimento

Il problema chiede di dimostrare, a partire dall'espressione generale del teorema di Bernoulli, l'espressione che lega la velocità di fuoriuscita di un fluido ideale da un foro praticato sulla parete laterale di un recipiente all'altezza che separa il foro dalla superficie del fluido.

Nell'ipotesi che il diametro del contenitore sia molto maggiore rispetto alle dimensioni del foro, possiamo approssimare come nulla la velocità del fluido sulla superficie.

Indicando con 1 e 2 rispettivamente la superficie del liquido e il foro avremo che:

V1 = 0

Inoltre prendendo come riferimento l'altezza del foro, sarà che:

h1 = h

h2 = 0

Il teorema di Bernoulli afferma che:

P1 + ρ · g · h1 + ½ · ρ · V12 = P2 + ρ · g · h2 + ½ · ρ · V22

Con ρ densità del fluido e P le rispettive pressioni.

Poiché il fluido non è compresso né all'entrata né all'uscita, le rispettive pressioni saranno le medesime:

P1 = P2

Dunque l'espressione di Bernoulli si può semplificare come segue:

ρ · g · h1 = ½ · ρ · V22

Semplifichiamo la densità che compare in ambo i membri:

g · h1 = ½ · V22

Chiamando V2 la nostra velocità incognita v, avremo che:

457

Ora prendiamo in considerazione il caso specifico proposto.

Le dimensioni fisiche del contenitore di forma cilindrica sono:

d = 0,10 m

h = 0,20 m

A = 1 cm2 = 10-4 m2 (superficie del foro)

Q = 1,4 · 10-4 m3/s

Essendo la portata definita come:

Q = A · v

in cui

A è la superficie del foro attraversata dal fluido

v la velocità

otteniamo che:

v = Q/A

ma a sua volta v è pari a:

457

Per cui:

458

Eleviamo al quadrato ambo i membri:

459

Il volume d'acqua contenuto nel recipiente è pari a:

V = S · h = π ·(d/2)2 · h = 3,14 · (0,10/2)2 · 0,10 = 0,000785 m3 = 7,85 · 10-4 m3

Se la portata è Q, allora il tempo per svuotare l'intero recipiente attraverso il foro, supponendo costante la velocità di deflusso dell'acqua, è pari a:

t = V/Q = 7,85 · 10-4 / 1,4 · 10-4 = 5,6 s

Dunque in definitiva l'altezza fino a cui risulta riempito il recipiente è 0,1 m ed il tempo che impiega a svuotarsi completamente è di 5,6 s.

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