Esercizio sull'errore relativo
Esercizio sul calcolo dell'errore relativo
L'equazione di stato relativo ad una mole di gas perfetto a pressione P, temperatura T e volume V è:
P · V = R · T
Da diverse misurazioni di V, T e della costante R si trova:
V = (2,15 ± 0,02) l
T = (300 ± x) K
R = (0,0820 ± 0,0006) l · atm/K
Determinare quale deve essere l'errore assoluto x sulla temperatura T affinché la pressione P del gas possa essere calcolata con un errore percentuale dello 0,5 %.
Svolgimento
Il problema chiede, attraverso l'equazione di stato fornita, il calcolo della pressione P con un errore percentuale dello 0,5%.
La pressione P è pari a:
P = (R · T)/V
I valori forniti di R, T e V sono:
V = (2,15 ± 0,02) l
T = (300 ± x) K
R = (0,0820 ± 0,0006) l · atm/K
Trattandosi di grandezze derivate tramite prodotti e quozienti, calcoliamo l'errore relativo riferito ad ogni grandezza presente:
Er,V = 0,02/2,15 = 0,009
Er,T = x/300
Er,R = 0,0006/0,0820 = 0,0073
L'errore relativo sulla pressione sarà dato dalla somma degli errori relativi presenti a numeratore e denominatore:
Er,P = Er,V + Er,T + Er,R = 0,009 + x/300 + 0,0073 = 0,0163 + x/300 = (4,895 +x) /300
L'errore percentuale sulla pressione sarà pari a:
Ep,P = 100 · Er,P = 100 · (4,895 + x) /300 = (4,895 + x) /3
Poiché il testo richiede che tale errore percentuali sia pari allo 0,5 %, imponiamo che:
(4,895 +x) /3 = 0,5
4,895 +x = 1,5
x = 4,895 - 1,5 = 3,395 ≈ 3 K
che abbiamo approssimato al numero intero 3 in quanto il valore medio della temperatura è di 1 K questo vuol dire che è stato utilizzato uno strumento di misura con sensibilità di 1 K pertanto non avrebbe avuto senso indicare l'errore assoluto con 3,4 K o 3,395 K perché sarebbe stato come dire che l'errore assoluto andava oltre la sensibilità dello strumento (il termometro non riuscirebbe a leggere lo 0,4 o i 0,395 K).
In definitiva affinché la pressione P del gas possa essere calcolata con un errore percentuale dello 0,5 % è necessario che la temperatura venga misura con un errore assoluto di 3 K:
T = (300 ± 3) K
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