Calcolo della distanza focale di uno specchio
Esercizio sul calcolo della distanza focale di uno specchio
Si pone un oggetto dinanzi a uno specchio concavo e si rileva che l'immagine si forma a una distanza di -50 cm dallo stesso, presentando un ingrandimento uguale a 2.
Determinare la distanza dell'oggetto dal vertice e la distanza focale dello specchio.
Svolgimento dell'esercizio
Per risolvere il problema dobbiamo combinare due equazioni: la prima è la legge dei punti coniugati per lo specchio concavo che è la seguente:
(1/p) + (1/q) = 1/f
mentre la seconda è la formula che ci permette di calcolare l'ingrandimento che produce lo specchio che è pari a:
G = - f / (p - f)
Sapendo che:
q = - 50 cm
e che:
G = 2
si ha che:
(1/p) - (1/50) = 1/f
2 = - f / (p - f)
Mettiamo a sistema le due equazioni precedenti (sistema formato da due equazioni e due incognite):
(1/p) - (1/50) = 1/f
2 = - f / (p - f)
Calcoliamo il m.c.m. del primo membro della prima equazione. Si ha che:
(50 - p) / (50 ∙ p) = 1 / f
Da cui:
(50 ∙ p) / (50 - p) = f
50 ∙ p = f ∙ (50 - p)
50 ∙ p = 50 ∙ f - p ∙ f
50 ∙ p + p ∙ f = 50 ∙ f
p = (50 ∙ f) / (50 + f)
Sostituiamo ora l'espressione che ci consente di calcolare p a partire da f nella seconda equazione del sistema. Si ha che:
Da cui:
50 ∙ f + f2 = 2 ∙ f2
f2 - 50 ∙ f = 0
Scartando la soluzione f= 0 otteniamo:
f = 50 cm
Ricordando che:
p = (50 ∙ f) / (50 + f)
si ha:
p = (50 ∙ 50) / (50 + 50) = 25 cm
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