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Prodotto scalare

Come si esegue un prodotto scalare?

Dati due vettori a vettore e b vettore si definisce l’operazione di prodotto scalare tra essi :

prodotto scalare tra a e b = a · b · cos α

in cui a e b sono i moduli dei due vettori mentre α è l’angolo tra essi compreso:

prodotto scalare

Il risultato del prodotto scalare è un numero ovvero una grandezza di tipo scalare determinata solo dal valore numerico.

Essendo la funzione coseno compresa tra -1 e 1 il valore che può assumere il risultato di può variare da un minimo di (- a · b) ad un massimo di (a · b).

Il primo caso si ha quando l’angolo tra i due vettori vale 180 °, ovvero quando i due vettori sono posti lungo la stessa direzione ma rivolti con versi opposti.

Il secondo caso invece si ha quando i vettori sono equiversi e sono sempre giacenti lungo la stessa retta.

Se si verifica che i due vettori sono perpendicolari tra di loro (angolo di 90°) allora il prodotto scalare vale zero.

Riassumiamo quindi i tre casi nel seguente schema:

Conoscendo il valore del prodotto scalare è possibile ricavare il coseno dell’angolo tra essi compreso:

e tramite la funzione arcoseno si può quindi calcolare proprio il valore dell’angolo espresso in gradi o in radianti.

Significato geometrico del prodotto scalare

Il prodotto scalare è strettamente connesso al significato di proiezione ortogonale.

Eseguire il prodotto scalare tra i due vettori v vettore e w vettore vuol dire infatti calcolare il prodotto tra il modulo del vettore v vettore e la componente del vettore w vettore lungo la direzione di v vettore, ovvero per la misura della proiezione del secondo vettore lungo il primo:

significato geometrico del prodotto scalare

Nella figura il prodotto scalare tra i due vettori è quindi il prodotto di v per il segmento OH il quale è appunto calcolabile come w · cos α , con α angolo compreso tra i due vettori angolo vw.

Proprietà del prodotto scalare

Dati i vettori a, b e c e sia λ un numero reale, le proprietà del prodotto scalare sono le seguenti:

Proprietà commutativa:

a x b = b x a

Omogeneità:

(λ · a) x b = λ · (a x b)

a x (λ · b) = λ · (a x b)

Proprietà distributiva:

(a + b) x c = a x c + b x c

Elemento nullo:

il prodotto scalare è nullo solo se i due vettori sono perpendicolari.

Calcolo del prodotto scalare attraverso le componenti

Dati i due vettori a vettore e b vettore appartenenti al piano bidimensionale R2 e quindi dotati entrambi di due componenti:

a vettore = (ax ; ay)

b vettore = (bx ; by)

Il prodotto scalare è pari a:

= (ax · bx + ay · by)

Esercizio sul prodotto scalare

Dati i vettori nel piano a = (2;1) e b = (1;3) calcolare il prodotto scalare tra i due vettori e l’angolo tra essi formato.

Lo svolgimento lo trovi qui: esercizio sul prodotto scalare.

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