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Principio di conservazione della energia meccanica

Cosa afferma il principio di conservazione della energia meccanica?

Se in un sistema agiscono solo forze conservative allora la somma di energia cinetica, energia potenziale gravitazionale ed energia potenziale elastica si mantiene costante:

½ ∙ m ∙ v2 + m∙ g∙ h + ½ ∙ K ∙ x2 = costante

La somma di questi tre contributi rappresenta l’energia meccanica del sistema.

E' questo l'enunciato del principio di conservazione dell'energia meccanica.

Dimostrazione del principio di conservazione dell'energia meccanica

Consideriamo un punto materiale soggetto solo a forze conservative che varia la sua posizione e la sua velocità da un punto 1 verso un secondo punto dello spazio (punto 2) variando così la sua energia potenziale gravitazionale e la sua energia cinetica.

E' noto che il lavoro compiuto dalla forza agente contro le forze del campo per far variare l’energia potenziale gravitazionale è per definizione:

L = U1 – U2

Ma per il teorema dell’energia cinetica il lavoro è anche pari alla variazione di energia cinetica del sistema:

L = K2 – K1

Riscritte contemporaneamente le due espressioni otteniamo:

U1 – U2 = K2 – K1

cioè

K1 + U1 = K2 + U2

Quindi risulta dimostrato che la somma di energia cinetica ed energia potenziale si mantiene costante.

Pertanto:

K + U = costante

Conservazione dell'energia meccanica in presenza di forze non conservative

Premesso che l’energia totale di un sistema non aumenta né diminuisce, ma si può trasformare da una forma all’altra, in presenza di forze dissipative quali l’attrito, il principio di conservazione dell’energia meccanica cambia aspetto.

Mentre in caso di assenza di attrito la somma del contributo cinetico e potenziale era costante e quindi la variazione di energia cinetica e potenziale era nulla

K + U = costante → ΔK + ΔU = 0

in caso di presenza di forze non conservativa, una parte di energia meccanica durante il processo di trasformazione si trasforma in calore o in altre forme di energia.

In questi casi si ha quindi una diminuzione di energia meccanica del sistema pari al lavoro compiuto dalla forza non conservativa.

In formula:

Lnc = ΔK + ΔU

Riassumendo

Il principio di conservazione dell'energia meccanica afferma che: in un sistema fisico la quantità totale di energia meccanica presente in un certo stato si conserva quando lo stato del sistema cambia.

In particolare nella sua formulazione più generale, in presenza di forze non conservative (attrito tipicamente) il principio di conservazione dell’energia meccanica afferma che: il lavoro delle forze non conservative è pari alla variazione di energia meccanica del sistema.

Lnc = ΔEmeccanica

Spiegazione

Se un sistema si evolve passando da uno stato in cui possedeva solo energia cinetica verso un altro in cui possiede solo energia potenziale elastica e nel frattempo è intervenuta una forza di attrito, imposteremo l’equazione scrivendo che il lavoro compiuto dalla forza di attrito (che ricordiamo essere un lavoro negativo in quanto resistente) è pari alla differenza tra l’energia potenziale elastica finale e l’energia cinetica finale.

In sostanza l’energia, che rappresenta la capacità di compiere lavoro di un corpo, può passare da una forma di energia ad un'altra conservandosi nella sua somma totale a parte un contributo dissipato se intervengono forse non conservative.

Cioè in caso di presenza di forze di attrito, una parte dell’energia verrà degradata durante la trasformazione.

Caso conservativo

Se in un sistema non agiscono forze di attrito, la formulazione generale del principio di conservazione dell’energia meccanica assume la forma:

ΔEmeccanica = 0

In questo caso l’energia iniziale è pari esattamente all’energia finale del sistema.

Esercizio #1

Un corpo viene lanciato a velocità 20 m/s su un piano orizzontale scabro.

Esso si ferma dopo aver percorso un tratto lungo 340 m.

Determinare il coefficiente di attrito che caratterizza il piano.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sul principio di conservazione dell'energia meccanica.

Esercizo #2

Osserva il grafico sottostante ed esponi come energia potenziale gravitazionale ed energia cinetica variano lungo il percorso del corpo lungo la guida, trascurando ogni forma di attrito.

Da energia potenziale gravitazionale a energia cinetica

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: conversione dell'energia potenziale gravitazionale in energia cinetica.

Esercizio #3

Un corpo di massa 1 Kg viene lanciato su di un piano inclinato scabro caratterizzato da coefficiente di attrito pari a 0,2.

La velocità iniziale del corpo è pari a 3 m/s.

Principio di conservazione dell'energia meccanica applicato ad un piano inclinato

Sapendo che l’angolo di inclinazione del piano inclinato è di 30° rispetto all’orizzontale, determinare la distanza d percorsa dal corpo lungo il piano prima di fermarsi.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: principio di conservazione dell'energia meccanica applicato ad un piano inclinato.

Esercizio #4

Una molla di costante elastica 7,7 N/m si trova a riposo con l’estremità posta nell’origine dell’asse orizzontale.

Calcolare il lavoro (lavoro della forza elastica) necessario per portare la molla dalla posizione + 5 cm (X1) alla posizione + 9 cm (X2).

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sul calcolo del lavoro della forza elastica.

Esercizio #5

Una massa è appesa ad un filo lungo 2 m.

Alla massa, inizialmente ferma, viene trasmesso un impulso che gli imprime una velocità di 2,24 m/s.

La massa si comporta così come un pendolo semplice ed inizia ad oscillare.

Determinare quale risulta l’angolo di oscillazione del pendolo.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: angolo di oscillazione di un pendolo.

Esercizio #6

Un blocco di massa m=0,5 Kg è sottoposto ad una forza orizzontale F di modulo 470 N per un tempo di 0,01 s.

Il blocco si mette in moto su di un piano liscio e successivamente incontra una guida circolare anch’essa liscia di raggio 1,6 m.

reazione vincolare di una guida

Il corpo inizia così a percorrere la guida e ad elevarsi di quota.

Calcolare la reazione vincolare della guida quando l’angolo percorso è pari a 120°.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: reazione vincolare di una guida.

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