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Moto armonico

Moto armonico semplice

Il moto armonico è un moto di tipo oscillatorio, e quindi periodico, proprio come il moto circolare uniforme.

In particolare dal punto di vista cinematico, il moto armonico può essere visto come il moto della proiezione del punto P, che si muove di moto circolare uniforme sulla circonferenza, lungo il diametro.

Mentre il punto P ruota attorno alla propria traiettoria curvilinea, la sua proiezione Q continua ad oscillare tra i due estremi del suo diametro con l’origine centro di oscillazione.

moto armonico

Proprietà del moto armonico

La massima distanza dal punto fisso del centro si dice ampiezza A del moto, mentre la velocità della proiezione risulta massima nel centro e nulla agli estremi del diametro dove il punto inverte il moto.

L’accelerazione è massima agli estremi e nulla al centro.

La velocità angolare in un moto armonico si dice anche pulsazione del moto, mentre il periodo T è l’intervallo di tempo più piccolo dopo il quale il moto assume nuovamente le stesse proprietà.

Il periodo e la velocità angolare sono legati dalla seguente relazione:

T = 2 · π /ω

Che possiamo scrivere anche come:

ω = 2 · π / T

Introducendo la frequenza f del moto definita come l’inverso del periodo (f = 1 / T) possiamo riscrivere:

ω = 2 · π · f

In un moto armonico semplice è importante notare che frequenza e periodo sono indipendenti dall’ampiezza di oscillazione.

Equazione oraria del moto armonico

L'equazione oraria di un moto armonico è:

x(t) = A · cos(ω · t)

in cui

  • A è l’ampiezza del moto e si misura in m;
  • ω è la pulsazione o velocità angolare e si misura in rad/s.

Il grafico spazio-tempo di un moto armonico è del tipo:

grafico spazio-tempo nel moto armonico

Al tempo t = 0 il punto si trova all’estremo + A;

per t = π / ω il punto si trova invece all’estremo opposto -A.;

per t = π /(2 · ω) e t = (3 · π) /(2 · ω) il punto passa per la posizione centrale.

grafico moto armonico

Velocità ed accelerazione nel moto armonico

La velocità e l’accelerazione sono dati in funzione del tempo da:

v(t) = - A ·ω · sen(ω · t)

e

a(t) = - A · ω2 · cos(ω · t) = - ω2 · x(t)

Per cui si può dedurre che la velocità è

  • nulla agli estremi di oscillazione +A e -A (punti in cui il moto si inverte);
  • massima al centro dell’oscillazione (ovvero per t = π /(2 · ω) , t = (3 · π) /(2 · ω) o in generale per t = π /(2 ·ω) + k · π/ ω con k ∈ Z, insieme dei numeri relativi;
  • negativa da +A verso -A e positiva da -A verso +A.

Il grafico della velocità in funzione del tempo è:

velocità in funzione del tempo nel moto armonico

Infine l’accelerazione risulta:

  • nulla nel centro dell’oscillazione
  • massima in valore assoluto agli estremi di oscillazione

Il grafico che ne risulta è:

accelerazione in funzione del tempo nel moto armonico

In un moto armonico semplice risulta dunque che l’accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento ma cambiato di segno.

Esercizi sul moto armonico

Se ti interessano li trovi qui: esercizi sul moto armonico.

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