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Equilibrio di un corpo rigido

Qual è la condizione necessaria per ottenere l'equilibrio di un corpo rigido?

Ricordando che un corpo rigido è un oggetto che mantiene fissa le distanze tra i punti che lo compongono, e quindi risulta indeformabile, il moto ad esso associato è di tipo rototraslatorio.

Ovvero il corpo rigido può soltanto spostarsi (traslare) o ruotare su se stesso.

Visto che il movimento naturale di un corpo rigido è un moto rototraslatorio, la condizione per mantenere l’equilibrio di un sistema di tale genere è che esso non possa né traslare né ruotare.

Per cui:

  • affinchè esso non trasli la somma vettoriale di tutte le forze esterne ad esso applicate deve essere nulla
  • affinchè esso non ruoti la somma di tutti i momenti torcenti delle forze ad esso applicati, calcolati rispetto ad un polo qualsiasi, deve essere nulla.

La tabella sotto riporta un confronto tra le condizioni di equilibrio riferite ad un punto materiale e quelle riferite invece ad un corpo rigido:

equilibrio di un corpo rigido

Equilibrio di un corpo rigido ed equazioni della statica

Per un corpo rigido di massa m e momento di inerzia I valgono le equazioni di seguito descritte.

La traslazione è regolata da

m ∙ acm = FR,est

ovvero il prodotto della massa per il vettore accelerazione del centro di massa di un corpo rigido (baricentro) è uguale alla risultante di tutte le forze esterne agenti su di esso.

La rotazione è regolata da:

I ∙ α = MR,est

ovvero il prodotto tra il momento di inerzia ed  il vettore accelerazione angolare è uguale al momento risultante di tutte le forze esterne applicate al corpo rigido (si veda: momento di una forza).

Quindi affinchè il corpo rigido sia in condizione di equilibrio deve risultare che:

FR,est = 0

MR,est = 0

Le due equazioni vettoriale precedenti devono risultare entrambe soddisfatte contemporaneamente, per cui vanno poste a sistema.

Se si considera un piano bidimensionale su cui agiscono le forze, le due precedenti equazioni vettoriali, si traducono in due equazioni scalari per la forza, una per l’asse x e una per l’asse y ed in un’unica equazione scalare per il momento lungo l’asse z, ortogonale al piano xy (in quanto il vettore momento è il risultato di un prodotto vettoriale e quindi giace in una direzione perpendicolare al piano in cui sono presenti braccio e forza).

Dunque le tre equazioni scalari da risolvere sono:

equazioni scalari dell'equilibrio di un corpo rigido

Esercizio #1

Una scala, la cui forza peso è 69 N, è appoggiata ad una parete liscia.

Sulla scala è presente un uomo, forza peso di 490 N, che si trova esattamente a tre quarti della lunghezza della stessa.

Sapendo che la scala forma un angolo di 60° con la superficie scabra del pavimento, calcolare l’intensità della forza di attrito che esiste tra scala e pavimento.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sull'equilibrio di un corpo rigido.

Esercizio #2

Il motore di un’automobile fornisce una forza motrice di 300 N ed essa viaggia a velocità costante.

Può esserci in questo caso una forza di attrito agente sull’auto?

E se sì quanto vale il suo modulo?

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sull'equilibrio dinamico.

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