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Energia potenziale terrestre

Che cos'è l'energia potenziale terrestre?

Il campo gravitazionale è un campo di forze di tipo conservativo, cioè il lavoro compiuto per spostarsi da un punto A a un punto B all’interno del campo non dipende dalla traiettoria seguita ma soltanto dalla posizione iniziale e da quella finale.

Per un campo di forze conservativo è sempre possibile introdurre una grandezza scalare chiamata energia potenziale, in questo caso energia potenziale gravitazionale (o energia potenziale terrestre), solitamente indicata con U e la cui variazione è pari al lavoro compiuto della forza gravitazionale per spostare un corpo di massa m da un punto A a un punto B separati da distanza r all’interno del campo gravitazionale generato da un corpo di massa M:

variazione dell'energia potenziale gravitazionale

Segno dell'energia potenziale

Per convenzione si prende come riferimento di energia potenziale lo zero posto all’infinito (punto A), ovvero quando la distanza r tra le due masse tende a infinito.

Questo vuol dire che se due masse si trovano ad una certa distanza r, visto che tra di loro esiste l’attrazione gravitazionale, per allontanarle deve essere compiuto lavoro dall’esterno, cioè si deve fornire energia al sistema.

Allora il lavoro sarà eseguito contro le forze del campo.

Viceversa per avvicinare le due masse il lavoro sarà favorito dalle forze del campo.

Dunque l’energia potenziale andrà indicata come:

energia potenziale

Per cui è possibile definire l’energia potenziale terrestre come il lavoro svolto per portare una massa dall’infinito alla distanza r rispetto alla massa sorgente del campo.

Quindi il grafico di U in funzione di r è un rampo di iperbole posto nel quarto quadrante:

Energia potenziale in funzione di r

Variazione dell'energia potenziale gravitazionale

Vogliamo calcolare la variazione di energia potenziale gravitazionale di una massa m immersa nel campo gravitazionale terrestre che viene alzata di una certa altezza h a partire dal suolo.

L’energia potenziale gravitazionale va quindi calcolata tra la massa m e la Terra di massa M; la distanza iniziale tra i due centri di massa è pari al raggio della Terra R (il corpo è al suolo) mentre quando viene elevato all’altezza h la distanza sarà R+h.

Per cui:

variazione della energia potenziale gravitazionale

Semplificando otteniamo:

variazione della energia potenziale gravitazionale formula semplificata

Ora se consideriamo distanze molto più piccole rispetto al raggio della Terra, cioè non trattiamo per esempio missili che devono andare fuori orbita, ma di corpi che si spostano di una distanza considerevolmente inferiore ai 6371 km del raggio terrestre, possiamo approssima la somma R + h come R:

h << R

Per cui:

delta U

Ricordando che avevamo definito l’accelerazione di gravità g come:

accelerazione di gravità

Allora:

variazione dell'energia potenziale terrestre

Che è la formula già nota per il calcolo della variazione di energia potenziale terrestre.

Pertanto questa formula è valida solo nell’approssimazione di distanze molto piccole rispetto al raggio terrestre.

Per tutti gli altri casi bisognerà utilizzare l’espressione presentata inizialmente.

Conservazione dell'energia meccanica

Se su un corpo agisce unicamente la forza gravitazionale, che è conservativa, allora l’energia meccanica del sistema si conserva, ovvero rimane costante la somma della componente dell’energia cinetica più quella gravitazionale:

½ ∙ m ∙ v2 - G∙ (m ∙ M)/R = costante

Esercizio

Un satellite viene lanciato dalla superficie lunare con una velocità di 1 km/s secondo una traiettoria radiale.

Riuscirà il corpo a sfuggire all’attrazione lunare o ritornerà al suolo dopo aver raggiunto una distanza massima dal centro della Luna?

Nel caso in cui torni al suolo determinare la distanza massima raggiunta dal centro della Luna.

Si sappia che:

  • massa Luna 7,35 ∙ 1022 Kg;
  • raggio lunare 1737 km.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: satellite lanciato dalla superficie lunare.

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