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Conservazione del momento angolare

Legge di conservazione del momento angolare

La legge di conservazione del momento angolare, nota anche come bilancio del momento angolare della quantità di moto afferma che il momento angolare di un sistema è costante nel tempo se il momento delle forze esterne che agiscono su di esso è nullo.

Il momento meccanico applicato ad un corpo rispetto ad un riferimento O è esprimibile come rapporto tra la variazione del momento angolare e l’intervallo di tempo:

M = ΔL/Δt

Per cui se rispetto ad un punto il momento risultante di tutte le forze agenti sul corpo è nullo, il momento angolare totale del sistema rispetto allo stesso punto si conserva, cioè la sua variazione ΔL è nulla.

Di seguito vengono proposti alcuni esercizi sulla legge di conservazione del momento angolare.

Variazione del momento angolare

Consideriamo un corpo di massa m che si muova di moto circolare lungo una traiettoria di raggio r.

Se sul corpo agisce una sola forza F per un intervallo di tempo Δt allora sicuramente ci sarà una variazione sia della velocità angolare che della velocità tangenziale.

In particolare per il teorema dell’impulso possiamo scrivere che:

F ∙ Δt = ΔQ

in cui ΔQ è la variazione della quantità di moto ovvero m∙ΔV.

Esprimendo V in funzione della velocità angolare otteniamo che:

V = ω∙r

Da cui:

ΔV = Δω∙r

Quindi il teorema dell’impulso può essere riscritto come:

F∙Δt = m ∙ Δω∙r

Moltiplichiamo per r ambo i membri della precedente:

F∙Δt∙r = m ∙ Δω∙r2

la quantità F∙r rappresenta il momento meccanico M della forza che sta agendo sul corpo tangenzialmente alla traiettoria e quindi:

M ∙ Δt = m ∙ Δω ∙ r2

Ricordando che il prodotto della massa per la distanza al quadrato dal polo di rotazione rappresenta il momento di inerzia I allora:

M ∙ Δt = I ∙ Δω

Quando abbiamo parlato di momento angolare abbiamo dimostrato che per un corpo in rotazione questa quantità è esprimibile come il prodotto del momento di inerzia I per la velocità angolare ω:

L = I∙ω

Se varia allora il momento angolare, nell’ipotesi che la traiettoria non cambi e non ci siano variazioni di massa durante il moto,:

ΔL = I ∙Δω

Ma poiché:

M∙ Δt = I ∙ Δω

possiamo allora concludere che:

M∙ Δt = ΔL

Ovvero l’applicazione di un momento meccanico rispetto ad un polo di riferimento è la conseguenza della variazione del momento angolare rispetto a quel riferimento.

Esercizio #1

Lo stadio di nana bianca rappresenta il ciclo finale di una stella di medie dimensioni.

Prima di arrivare in questa forma la stella ruotava con una velocità angolare di 1,1 ∙ 10-6 rad/s.

Sapendo che nel passaggio perde metà della sua massa e che il raggio diventa il 10% di quello iniziale, determinare la nuova velocità angolare.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sulla conservazione del momento angolare.

Esercizio #2

Un disco di raggio 4 m e massa 60 Kg è in rotazione attorno all’asse passante per il suo centro ed è posto su di un piano orizzontale.

Sul disco viene posto a 1,8 m dal centro un corpo approssimabile ad un punto materiale di massa 5 Kg.

Determinare la nuova velocità di rotazione del disco se quella iniziale era pari a 8π rad/s.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: calcolo della velocità di rotazione di un disco.

Esercizio #3

Una pattinatrice sta ruotando su se stessa alla velocità angolare di 14 rad/s tenendo le braccia completamente distese.

Ad un certo punto chiude le braccia portandole al proprio petto e facendo diminuire il suo momento di inerzia del 30%.

Calcola la nuova velocità angolare.

Velocità angolare di un pattinatore

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: velocità angolare di un pattinatore.

Altri esercizi

Li trovi qui: esercizi sul momento angolare.

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