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Come varia l'accelerazione di gravità con l'altezza

Valore dell'accelerazione di gravità e quota

Il valore dell’accelerazione di gravità è indipendente dalla massa del corpo considerato, quindi ogni corpo è soggetto alla medesima accelerazione, così come scoperto da Galileo Galilei (questo nel caso in cui la resistenza dell’aria risulta trascurabile).

Invece il valore di g può essere considerato costante e pari con una buona approssimazione a 9,8 m/s2 solo se la quota h considerata a partire dalla superficie terrestre è trascurabile rispetto alle dimensioni del raggio della Terra.

Non è più legittimo ritenere tale valore costante se la quota di altezza diventa considerevole, come ad esempio nel caso del volo di un missile spaziale.

In generale g diminuisce all'aumentare dell'altezza h, ma vediamo questo concetto nel dettaglio.

Calcolo del valore dell'accelerazione di gravità in funzione dell'altezza

Consideriamo un oggetto posto ad una certa altezza h sopra la superficie della Terra.

La distanza tra l’oggetto e il centro del pianeta è:

d = R + h

in cui R è il raggio della Terra:

accelerazione di gravità ed altezza

L’accelerazione con cui il corpo, lasciato libero di cadere, incrementa la propria velocità vale:

g in funzione di h

e sarà funzione dell’altezza h.

(Per approfondimenti su questa formula si veda quanto esposto relativamente alla accelerazione di gravità).

Se h risulta molto inferiore al raggio terrestre

h << R

allora il termine al denominatore riscritto come:

1/(R + h)2 = (R + h)-2

può essere approssimato ricorrendo al binomio di Newton secondo la logica che segue:

binomio di newton

in cui:

coefficiente binomiale

è il coefficiente binomiale che si può calcolare come

calcolo coefficiente binomiale

Ora nel nostro caso il termine (R+h)-2 va riscritto nella forma (1 + x)α, per cui raccogliamo il termine R all’interno della parentesi:

(R+h)-2 = [R · (1 + h/R)]-2 = R-2 · (1 + h/R)-2

Applichiamo ora la formula del binomio di Newton considerando x = h/R ed α = -2:

R-2 · (1 + h/R)-2 = R-2 · (1 – 2 · h/R + . . .)

Ci fermiamo al termine di primo grado che rappresenta giù un’ottima approssimazione.

Allora l’accelerazione di gravità g varrà:

calcolo accelerazione di gravità

Ma il termine (G · MT / R2) vale proprio g:

g = (G · MT / R2)

Per cui:

come varia l'accelerazione di gravità

La variazione di accelerazione di gravità tra il valore a livello della superficie terrestre (9,8 m/s2) ed il valore di g ad una certa quota h vale dunque:

Δg = g(h) – g = g · (1 - 2 · h/R) – g = g - 2 · g · h/R – g = - 2 · g · h/R

Il segno meno sta a significare che g decresce quando h cresce, così come la logica porta a pensare (più si ci allontana dalla superficie, meno intensa sarà l’accelerazione di gravità).

Ora per un’altezza di 100 km (100000 m =105 m) dalla superficie del nostro pianeta, la variazione di g sarà:

Δg = - 2 · g · h/R = -2 · 9,8 · 105 /(6,38 · 106 ) = - 0,3 m/s2

Dunque l’accelerazione di gravità a 100 km varrà:

g(100 km) = 9,8 – 0,3 = 9,5 m/s2

con una variazione percentuale di appena il 2%.

Ci si convince dunque che nei comuni fenomeni considerati in meccanica l’approssimazione di considerare g costante a 9,8 m/s2 risulta più che ottima.

La seguente tabella mostra i valori dell’accelerazione di gravità man mano che aumenta l’altitudine fino a 100 km:

valori dell'accelerazione di gravità in base all'altezza

Esercizio

A quale altezza rispetto al suolo terrestre bisognerebbe portare un corpo affinchè si dimezzi il peso?

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: altezza dal suolo per dimezzare la forza peso.

Esercizio sul calcolo dell'accelerazione di gravità

Calcolare a quale valore dell'accelerazione di gravità è sottoposto un satellite in orbita circolare a 160 km di altezza dalla superficie terrestre.

Lo svolgimento dell'esercizio lo trovi qui: esercizio sul calcolo dell'accelerazione di gravità.

Esercizio sulla accelerazione di gravità in funzione della altezza

Calcolare la variazione del valore dell’accelerazione di gravità per un’altezza di 200 km a partire dal livello del mare e determinarne il valore a tale quota.

La soluzione dell'esercizio la trovi qui: esercizio sulla accelerazione di gravità in funzione della altezza.

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